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Faire entrer la surface de la Terre à l'intérieur d'une balle de ping-pong: première image 3D d’une sphère réduite grâce aux fractales lisses

Comment réduire la taille d'une sphère sans déformer ses longueurs? En tirant parti des fractales lisses, comme l'ont découvert Vincent Borreli, mathématicien à l'Institut Camille Jordan, et ses collègues de Lyon et Grenoble.

Dans les années 1950, Nicolas Kuiper et le prix Nobel John Nash ont démontré l’existence d’une vaste classe d’objets mathématiques paradoxaux tels que des tores plats en 3D ou des sphères réduites, sans pouvoir toutefois les visualiser. En effet, il apparaît impossible à première vue d'imaginer que ces objets puissent être distordus (pliés, réduits...) sans que leurs longueurs ne soient modifiées. 

Une équipe de
mathématiciens et d’informaticiens de l’Université Claude Bernard Lyon 1, de l’Université Grenoble Alpes et du CNRS (1) a réussi à construire et représenter visuellement une sphère réduite, cinq ans après avoir obtenu la première image d’un tore plat en 3D.

Les sphères, connues pour être rigides, ne peuvent pas être déformées isométriquement3, c'est à dire en préservant les longueurs des courbes, avec une régularité de classe C2. En se basant sur la théorie mathématique de l’intégration convexe4, les chercheurs sont parvenus à placer une sphère à l'intérieur d'une boule de rayon arbitrairement petit.

Si l'on assimile la surface de la Terre à une sphère ronde, cette théorie permet de réduire son diamètre à celui d'un modèle réduit de globe terrestre ou d'une balle ping-pong tout en préservant les distances géodésiques5.



La surface obtenue, très déformée, se compose de deux calottes sphériques, parfaitement lisses, connectées par une bande équatoriale fortement déformée. Les chercheurs montrent que ce changement de structure géométrique est similaire à celui observé lorsqu'on relie une courbe de von Koch à un segment de droite.

Ces résultats ouvrent des perspectives inédites en mathématiques appliquées, notamment pour la résolution de certaines équations aux dérivées partielles (des équations largement utilisées dans la modélisation, par exemple les modèles météorologiques ou financiers).

Les étonnantes propriétés des fractales lisses pourraient également jouer un rôle central dans l'analyse de la géométrie des formes.

Ces résultats ont été publiés dans la revue Foundations of Computational Mathematics, le 6 juillet 2017.

1.       Institut Camille Jordan (CNRS/Universités Claude Bernard Lyon 1 et Jean Monnet/Ecole centrale de Lyon/INSA de Lyon), du GIPSA-lab (CNRS/Grenoble-INP/ Université Grenoble Alpes) et du laboratoire Jean Kuntzmann (CNRS/Université Grenoble Alpes/Grenoble-INP).

2.       http://www2.cnrs.fr/presse/communique/2583.htm

3.       Le résultat de John Nash et Nicolas Kuiper montre que ce n'est plus le cas si l'on autorise des déformations moins régulières, de classe C¹.

4.       Utilisée dans la détermination de solutions atypiques d’équations aux dérivées partielles.

5.       Sur le cercle, la distance géodésique est la longueur du plus petit arc de cercle joignant les deux points.



Publié le 12 juillet 2017 Mis à jour le 13 juillet 2017